Chapter 1 高斯消去法(Haussiam Elimination)

Matrix mode : Ax=b

If A^-1 exist,then answer is x=A^-1b .

下列條件互為等價：

1. A^-1 exists
2. det(A) 0
3. The row vector of A are l.I ( Linear Indep. )
4. The column vector of A are l.I
5. The RREF of A is the Identity matrix
6. A is full rank
7. Ax=0 x=0 ( There is no nozero x such that Ax=0 )

<PS>

1. The "pivots" are the first nonzero entries in these rows.
2. The number of pivots is the "rank".

三角矩陣

1. 下三角矩陣：

   Def : l_ij=0  whenever   i < j

2. 上三角矩陣 Def : u_ij=0  whenever   i > j

[Thm] 如果 G=(g_ij) 為三角矩陣， 則 det(G) = g₁₁ ^. g₂₂ ^... g_nn . [Cor] 設 G 為三角矩陣，若 G 為 nonsingular
g_ii 0  for  all  i=1 ...n.

[Cor] G 若為三角矩陣，Gx=b 有唯一解 G 的主對角線皆不為 0

A=LU L:lower U:upper

slove Ax=b is the same to LUx=b

1. Ux=y , LUx=b Ly=b
2. 先解 y
3. 再解 Ux = y 的 x

Forward Substitution

a_ij , b_i  are  given.

演算法：

For i=1 : n

if l_ii=0 exit
for j=1 ^...i-1

end

<PS>

上三角系統 Ux=y 解法也類似 Forward Substitution， 先解y_n , 再解 y_n-1 ... 此法稱為 "Backward Subsitution"。

Example :

Exercise : Prove det(A)=g₁₁ g₂₂

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