數學解題與思維

許志農教授

國立台灣師範大學數學系

2002/6/4 在台北市立萬芳高中的演講內容

邱淑惠整理

創意教學競賽講評

周校長、單教授，很高興有一個小時的時間能夠在這裡跟各位分享我要演講的內容。本來單教授是希望我對今年的創意教學競賽的二十幾份作品做一些講評，但是我不想講那樣細，就講一個大概的情形。

做這個評審其實很為難，回想十幾年前，我從師大畢業的時候，第一年也是去實習。一般實習就是要寫教案。那時候電腦沒有那麼發達，多媒體也沒有那麼厲害，所以教案就只能用手寫的，然後再電腦輸入，也沒有什麼動畫之類的。所以說起來慚愧，我從來沒有用我的教案教過書，從來沒有一次是按劇本來操演的。所以如果在十幾年前，我恐怕會很反對別人真的照教案去教。這一兩年來，單教授辦了創意教學競賽。我們現在的電腦動畫、多媒體已經到了很完美的境界，所以其實現在的教案可以很多元化。若我們還是把教案當成以前的樣子，就只有幾張紙，列很多細目就完成，大概很難獲得學生的喜歡。所以現在和以前是很不一樣的。

我們寫教案做什麼呢？我們寫教案當然是為了教書方便、不會忘記，讓學生易於瞭解、便於思考。要如何達到這個目標呢？我們一個班級有四十幾個學生，來自不同的環境，從幼稚園、小學、國中、高中，學的數學思維都不一樣。我們如何設計一個教案最適合他們呢？這是很難辦得到的。

舉一個例子，有時我會回想，我從小學到現在，從來沒有想要嘗試去瞭解坐在我旁邊的人，他是怎麼做數學的？他遇到數學問題，首先是想到什麼。我是土法鍊鋼、用我自己的方法來做的。就是因為大部份的人都和我一樣，從小就自己培養出一套解決數學問題的方法，從不會想要去瞭解別人解決問題的思維方法。就算甲、乙兩人小學六年都坐在一起，也不會交流彼此的思維想法。這樣難道不會有遺憾嗎？除非我的方法是最棒、最好的，否則要是能夠瞭解旁人是怎麼想的、能夠截長補短，相信會是一件很棒的事。照理說，數學能夠如此學習是最好的，但是我們似乎不能達到這樣的境界。如此一來我們就無法反省。班上三十幾個人，每個人九年來的學習，都是自己孤獨地用自己的方法來學，每個人都不同。你如何來設計一個創意或有意義的教案，讓這三十幾個學生得到最大的益處呢？因為有人可能覺得很難，另一群人可能覺得簡單，要讓大多數人收益最大其實很難。所以教案應該是，開學第一天先對班上做調查，瞭解每個學生對解題方式的習慣，整理過後才提出你的應對方式，這才是一個最好的方式。

但是，應該很少老師是這樣子做的。大多數的老師都是根據自己從小到現在，他覺得數學應該怎麼做、怎麼教學生最會瞭解。那是個人的、我自己覺得，吸收者可能不見得這樣認同。因此，我在評創意教學作品時，就產生很大的為難。因為我不知道這些教案面對的是怎樣的學生，這些學生有哪些怪癖。因此很難評定哪個教案比較好。所以，也許你沒有得獎是我們錯怪你了，也許你寫得很好也不一定。有得獎的也許是比較適合我們評審的味道，也不見得這個教案真正去實行後可以獲得比較好的效果。

我們的教案就是為了讓學生易於學習，因此就創造了一些模型。比如說，有人教座標時就要用什麼樣的舉例來說明，學生易於瞭解；教三角函數時，我就用什麼樣的動畫，學生才能夠清楚；我要教加減乘除時，我要用什麼樣的比喻，學生最能夠吸收。這是我這次評審的最主要想法。

前言

我今天的講題是「數學解題與思維」。這應該是各位老師要教的，不是我要教各位的，我只是分享我的解題過程。就像我們教學生，是希望他們的解題思維進行能夠順暢。我們每個人從小到大都是用自己的一套模式在學習數學，而用自己的模式解題當然會有缺陷，因為沒有人是完美的。我們的數學解題就是要教他，要多去參考別人或者模仿別人、發現別人的優缺點來改進自己，如此才能提昇解題能力。這當然是困難的，所以這一個小時我們就來談我的解題與思維。

幫學生規劃學數學的頭腦

我們遇到一個數學問題，第一件事就是把它解決。不過在解決之前，最重要的就是要讓學生有興趣。一件事若讓人覺得無趣，那就都沒有用了。所以第一件事要引起學生的共鳴，進而才能夠引導他能否解決這個問題。

各位老師都在學校教學生數學，那麼各位老師都扮演怎樣的角色呢？我們都在寫黑板，希望學生趕快把我教的都背起來，考試剛好考到這題，那學生就得滿分了。這樣我們都是在填鴨。

你若把學生的頭腦當成電腦的硬碟，那各位老師做的事就是希望學生將我教的東西用頭腦存進去。考試的時候希望學生把存進去的東西拿出來用，能夠解決問題。可是有的學生不見得能夠存得進去，有的學生存進去不知道拿出來用。所以我們在灌輸學生以前，我們是不是應該替他規劃一下他那顆頭腦的硬碟，才不會產生存不進去的現象。

就好像各位有在玩電腦，電腦裡面都有很多目錄，目錄裡有許多東西，你可以把電腦規劃得很好。若發現電腦內容有點亂的時候，你會重新砍掉、重新整理，所以你對待電腦其實也很殘酷。既然你希望電腦都井然有序，那你當然也希望學生的這顆頭腦也井然有序。要如何讓學生的頭腦也井然有序，這就牽涉到策略。我們的頭腦有一部份要存數學的知識，要把學生的這部份硬碟修理好。

解題的流程

我們在教學生數學思維與解題時，最重要的有兩件事情：第一件事是是否有好的解題流程圖；第二件事是數學知識的學習。

先談流程圖，第六頁這裡有一個數學解題流程圖的建立。我們遇到一個數學問題時，第一件事當然是先用眼睛去觀察，它可能是一個代數問題，也可能是一個幾何問題。每個人都是兩隻眼睛，看到的問題是一樣的，但是我們所看到的真的是會一樣嗎？比較敏銳的人，他所觀察的可能會比較多。所以我們的眼睛去觀察、認識這個問題時，也許我已經洞察到很多平行、垂直、歸納了很多東西，有人可能只看到表面而已。所以用眼睛去認識問題時，大部份外在的部份都看得一清二楚，但是內在的部份每個人都各有不同。所以，第一用眼睛看，就能夠得到答案，解題就算完成了。

那萬一做不出來怎麼辦呢？我們就進入思考。先用眼睛看，雖然做不出來，但是我們已經有了一些資訊。我們就將這些資訊經過思考推理之後，看能否得到結論。

萬一還是無所得，那麼就要用我們最寶貴的頭腦。因為我們的老師都教我，頭腦儲了好多數學知識，也許我應該要拿出來用一下。所以第三件事就是要善用我們頭腦中的數學知識。可是我們所儲存的數學知識都是抽象的、單調的、無趣的，我遇到一個數學問題可能是情境的、有趣的，所以必須要做轉換。我們要把我們腦中的數學知識抽出來解決遇到的數學問題。

可是最常見的情況是，通常想破的腦筋還是無法解決。難道跳過去做下一題嗎？應該不是。我們眼睛看一看後不能解答，心裡想一想也不行，頭腦中的知識似乎都用出來了，還是不能解答。難道代表我們做不了這題了嗎？也許我們有沒有看清楚、沒有想明白、腦中沒有用到的地方。

因為我們的頭腦很複雜，不像電腦有20giga就把20giga都掃瞄一遍，可以確定我們的電腦不能解決這個問題。我們的頭腦應該是無窮giga吧？裡面儲存著無窮的東西，你也不知道它存在哪裡。也許你有學過這個數學知識，但是藏在很深遠的地方你找不到。所以如果不能解決的時候，應該反覆到第一步去，再去觀察一下是否有遺漏的部份，再去思考一下，再把腦中的知識再想一下是否有用到的部份。

這樣子跑了幾圈還不能解決，就代表這個問題也許超過我們的學習範圍。所以我們就再去考大學，再去學一些知識來解決這個問題。所以這就是為什麼國中讀完要讀高中、高中讀完要讀大學的原因，就是因為一直有很多問題不能解決。

若你認為數學解題就這三個步驟，那最重要的就是訓練他三件事情：觀察敏銳、思考推理順暢、數學知識要夠而且要用得出來。我們常常發現，這兩個人一樣聰明，為什麼考試有的高、有的低？也許他們腦中儲存的一樣多，可是一個使用得好，另一個雖然腦中有儲存，可是用不出來。

舉例—百戰天龍

也許有人不認同我們這個解題流程，那我們來看一下以前偉大的數學家的解題流程是不是這個樣子的。

在舉例之前我們先思考一下，各位都有看過「馬蓋先」的「百戰天龍」吧？它的內容大家大概都知道。總是有一位受難的美女求助於馬蓋先，馬蓋先就成功的幫助這美女，然後美女就給他一個吻，故事就結束了。

為什麼影集要有一位美女呢？它的目的就是要觀眾不要轉台、要目不轉睛。如果我們把這節目當成一個數學問題，那麼美女就是我們教案中的創意，要讓學生目不轉睛、不要打瞌睡。

影集中無辜的美女的爸爸被壞人抓走了，美女求助於馬蓋先，那麼馬蓋先要怎麼救她的爸爸呢？他總是先深入敵營、觀察地形。所以馬蓋先在解決這個數學問題時，是先用眼睛觀察。

等到馬蓋先將敵營的內在外在都已經摸熟了，然後就開始思考用什麼樣的策略救人。因此第二個步驟就是用心裡思考、去佈局。第三步驟，他使用他腦中的各種知識實際跟壞人對抗，然後就完成任務。

因此馬蓋先這個影集，其實第一就是讓你感到這個題目很有趣，然後再告訴你馬蓋先如何解決問題。這是一個典型的例子。

曹植的真知

我們舉一個數學的、東方的例子。我們小時候都讀過，有名的曹操的兒子—曹植，他是第一個會量大象的體重的人。

中國並沒有大象，大象是從印度或西南來的，所以很少見。曹操擁有了大象就非常寶貝。而大象很大、很重，他想知道大象有多重，但是中國的秤很小，也沒有地磅可用，於是他就懸賞黃金百兩，看誰有辦法可以秤這隻大象。

如果我是曹操，懸賞百兩，那各位數學老師一定樂意想解決這個問題，首先想來看看大象是何物。也就是說，我要解決這個問題，一定是先用眼睛看一下。然後，看到了大象是如此龐大之後，就會開始思考，我用什麼方法來解決這個問題。所以第二階段，用心裡思考、推理量大象體重的方法。

也許會想到，我家鄰居殺豬的，是將豬殺死後切成一塊塊來量。那如果我把曹操的大象也切成一塊塊，再來量重量，其實也是個方法。但是又想，如果將大象殺了，那麼賞金還沒拿到，曹操就會把我也殺了。所以這個方法不可行。

眼睛看到後這個方法不可行，腦中的知識還沒用到。曹植就說了，我能不能想到一個方法把大象殺了，但是又不是真的殺掉。就是把大象牽到船上去，船沉下去的高度與換成放置石頭沉下去的高度一樣，然後秤石頭的重量。只要我會加法，就可以計算大象的重量。最後曹植就得到賞金了。

所以曹植很典型地用了眼睛觀察、心裡推理思考、最後用腦中的知識來解決這個數學問題，所以他應該是個偉大的數學家。

泰勒斯的灼見

東方有曹植的真知，西方也有泰勒斯的灼見。泰勒斯是個商人，他在埃及賣鹽巴。埃及最有名的是金字塔，也是國王的最愛。

金字塔與大象有什麼異曲同工之妙？就是金字塔很高、大象很重。埃及的國王想知道金字塔有多高。

你眼睛看一下，看看它有多高，發現不能知道。接下來心裡想一想，我把金字塔搬下來，一塊塊量它的高度，但是這樣會花很多時間，而且破壞了金字塔。

泰勒斯就想，我先看一看金字塔很高不能量、心裡想也不能一塊塊搬下來量，那麼我腦中的知識是否有能夠量金字塔高度的知識。泰勒斯是歐幾里德時代的人，那時候有比例與相似的觀念，所以他想到把一支竹竿插在地上，太陽昇起的時候金字塔有影子，竹竿也有影子。當太陽愈昇愈高時，金字塔的影子愈來愈短，竹竿的影子也愈來愈短。等到某一個時刻，你發現竹竿的影子與竹竿的高度一樣，此時，金字塔的影子長就是金字塔的高度。因為這是兩個等腰直角三角形相似，你只要量金字塔的影子就可以了。

所以泰勒斯也是用了他腦中儲存的幾何相似的知識，幫埃及的國王解決了問題。他也是個偉大的數學家。

高斯的妙想

最有名的是高斯的妙想。高斯的老師就是各位中的某一位，一天上課累了想要休息一下，於是要學生算1加2加到100是多少呢？老師想說這個一定要算很久，可以好好休息。大部份的人會照老師說的，慢慢從1加2加3來算。

高斯比較懶惰，他思考將黑蘋果第1排放1顆、第2排放2顆、第100排放100顆，那麼這些蘋果的總數就相當於1加到100。如果把黑色的蘋果轉過來，把黑色變成白色的，白蘋果的總數也是1加到100。如果把黑白蘋果都加起來，湊出來就是個平行四邊形，每一排都是101顆，一共有100牌。所以總數就是101顆乘以100排，因為這是兩堆，所以再除以2。高斯就很快速地算出答案了。

這是高斯有名的一個妙想。他善用了他腦中儲存的幾何知識，用拼圖拼出了一個很好的解法。

我們一共舉了曹植量大象、泰勒斯量金字塔與高斯的1加到100，這都是先人的真知灼見。我們教學生就是希望將來遇到一個曹植，這輩子就心滿意足了。

泰勒斯的小故事

泰勒斯還有個有趣的故事。

前面說過，泰勒斯是賣鹽巴的，他要將鹽從以色列運到埃及去賣。當年並沒有卡車，但是鹽要運過紅海。他不是耶穌不能讓紅海分開，因此他要用牛幫他馱運。

有一次，一隻幫他馱運鹽的牛不小心在紅海跌倒了。因為牠馱的是鹽，跌倒後鹽就溶解了，這牛背就變得輕鬆了。於是這隻牛回去就告訴牠的同伴說，如果在某個地方假裝跌倒，背上就會變得很輕鬆。所以後來他所有的牛都這樣做，讓泰勒斯損失很慘重，他就想到一個方法要修理這些牛。

一次他就不運鹽巴而改運棉花，牛重施故技假裝跌倒，結果發現反而更重了，下次就不敢了。

數學教學

我們舉這些偉人的例子，都是經過眼睛看了覺得不可能、思考過後也不行，然後不放棄地運用腦中的知識才解決問題。那麼我們教學生解題是否也應該這個樣子呢？

我們老師扮演的角色就好像牽著學生的手，教你這樣然後要怎麼做，希望你遇到問題時就照著這樣做，這也算小的填鴨。這種方式最簡單的就是教給學生所有類型的題目，那麼學生遇到問題就記得這是哪一類，見招拆招即可。但是這不是很好的方法，因為這樣就像死背一樣，我們希望學生能靈活應用數學知識。所以我們希望學生要觀察敏銳、思考推理不能有漏洞、腦中的知識要夠充分。

數學思維--練習1

我們底下舉幾個例子來考驗老師。比如說練習1：1加3加5加到2n減1除以2n加1加2n加3加到4n減1，我要知道這個最簡分數是多少。我們不要用筆。眼睛看一看就知道的最高分、用筆算一算的次高分、還需要用腦中知識想一想的最低分、都無法做出的是零分。

我們想一下，若我是高斯我要怎麼做？我發現，分母2n不要看的話也是1加3加5加到2n減1，也就是說分母的2n都不要看的話就會和分子一樣。所以分母是幾個2n相加再加上和分子一樣的數。

再看分子，如果我們將1、3、5到2n減1倒過來與每一項相加，也是一樣會得到好幾個2n相加。也就是說，幾個2n相加的那個數列是分子的2倍，所以分母是分子的3倍，就可以得到3分之1這個答案。

數學思維—例題1

再看例題1，有三塊面積一樣的正方形，它們有一部份重疊。重疊以後共交出了5塊區域，其中有三塊面積分別是20、13、18，而中間的三角形和四邊形應該要是多少呢？我們一樣不要用筆算，只用眼睛觀察。

第一塊與第二塊相交的部份是三角形，面積是固定的，那麼沒有相交的部份面積應該是一樣的。所以你應該知道，20會等於13加上另一個四邊形，於是就可以得到四邊形面積是20減13等於7。第二塊與第三塊，重疊的部份不看，不重疊的部份也要一樣。18要等於13加上三角形，所以三角形就可得到5。

以上這兩題，應該在我們用眼睛看的階段就可以處理。

數學思維—例題2

接下來看例題2，這應該要用眼睛看後再推理一下。

我們有兩根蠟燭，若把它點燃燒完要一個小時。可是這蠟燭是不規律的，並不一定長度剩下一半就代表時間過了一半。現在，你能不能用兩根能燒一個小時的蠟燭，測量出45分鐘？

先看看能不能量2個小時，我們只要一根燒完再燒另一根就可以測量2小時。那麼半小時能不能量呢？一根蠟燭兩頭燒就剛好時間減半，就可以量出半小時。我們用心裡思考推理即可。

我們將一根蠟燭的兩頭與另一根蠟燭的一頭同時點燃，當第一根蠟燭燒盡表示時間過了半小時，此時再將第二根蠟燭的另一頭也點燃。因為第二根蠟燭只剩下30分鐘，我們再讓它兩頭燒，所以15分鐘就可燒完。這樣就可以量出45分鐘了。

數學思維—定理3.1

底下有一個希望之島的推理問題。我們遇到一個數學問題，先用眼睛觀察後不可行，再用思考推理，還不行，最後就使用腦中的知識。我們來看看腦中的數學知識真的管用嗎？

請看第10頁的定理3.1。我們有及，請你證明a1+a2會比b1+b2來得大。遇到這個問題，眼睛觀察不出什麼東西，思考推理也不行，我們只能用腦中儲存的數學知識來解決。

我們從小學到現在，有沒有什麼知識與題目內容有關？有的，我們學過數線。在數線上a1、b1、b2、a2哪兩個點的距離最大？一定是最邊邊的兩點距離最大。於是我知道，a1-a2的距離大於等於b1-b2的距離。距離要取絕對值，可是我對絕對值很害怕，那麼把它平方好了。所以你腦中的思維由數線來想，就會得到a1-a2的平方大於等於b1-b2的平方。展開後再分別加上4a1a2與4b1b2，配回平方。因為都是正數，再把平方拿掉，就可以得到不等式。原來我國一學的數線可以解決這個不等式。

證法2，只是把它開根號，方法都一樣，這也是數線的做法。

證法3由出發，看到這個式子會想到什麼？你會想到兩件事情，第一會想到一個矩形，它的長是a1、高是a2，這矩形面積會比長是b1、高是b2的矩形面積大。

第二，我會想到把它變成分數，然後兩邊都減1，然後放到分子，會變成，b1與a2哪一個大呢？b1比較大。有一個數除以比較大的數還會比另一個數除以比較小的數大，代表原來的數比後面的數來得大，然後再移動一下就可以得到答案。我們發現，用分數的方式也可以解決這個問題。

如果我們用證法5，就是用幾何思維，那就把圖畫出來。有一個長是a1、高是a2的矩形面積比長是b1、高是b2的矩形面積大，這矩形面積有重疊，重疊的面積是一樣的。那不重疊的部份，一個面積是b1(b2-a2)，另一個面積是(a1-b1)a2。右邊的面積應該比較大，也就是說，再除過去，一樣可以得到我們的不等式。所以這個題目，我們用眼睛看不能得到答案、想一想也不能得到解答，然後由已知條件聯結我們學過的、有什麼與它相關，巧妙的搬弄一下，發現可以解決這個問題。主要就是把腦中的知識顯現出來。

最後這個例子就是告訴你，同樣一個不等式，用不同的方法來做都可以解決。

結語

最後回到創意教材。我們希望能有一份老師教起來輕鬆愉快，學生學起來便於瞭解、學習的教材。若你認同學生的思維每個人都不一樣，你如何安排一份適當的教材，讓學生整體學得最好？關鍵不在於寫教材，而在於對這班級是否都進行了瞭解，知道他們每個人的想法是如何，要因材施教才是適當的。但是一份教材對每個人都適用是不容易的，所以我們只能盡可能折衷，盡量是對大部份學生有幫助的。

我們的課就到此，我的教材後面附了一些題目，各位老師晚上睡不著的時候可以試試看，驗證看看我說的方法對不對。謝謝大家。