數一B 88018100 翁婉珣

數一B 88018100 翁婉珣

　

1.廣義積分 $\displaystyle\int_4^\infty {3+\sin x\over x}\,dx$ 是否可積？

　

> Int((3+sin(x))/x,x=4..infinity);

[Maple Math]

> value(%);

>

ans:NO

2.求 x²e^x² 以 x=0 為參考點的六階泰勒多項式。

> taylor(x^2*exp(x^2),x=0,6);

3. 求以下導函數：

(1) [Maple Math]

> Diff(Int((t^4/(4!))*exp(-t),t=0..x),x);

　

> value(%);

(2) [Maple Math]

> Diff(Int((t^4/4!)*exp(-t),t=0..4*x),x);

> value(%);

　

4. 求以下反導函數：

　

(1) [Maple Math]

> Int(x^2*sin(x),x);

> value(%);

(2) $\displaystyle \int e^x \sin x\,dx$

> Int(exp(x)*sin(x),x);

> value(%);

　

5. 令 v 是氧分子在室溫下的速度，以 m/sec 為單位。在為數非常多的氧分子中，各個速度不同。麥斯威爾 (Maxwell) 認為這些分子的速度分佈函數 (distribution function) 是，其中 是波茲曼 (Boltzmann) 常數， T 是凱氏溫標 (所謂室溫就是 293 度 K ），kg 是氧分子的質量。試問

(1). a 的值大約是多少？寫出四位有效數字。

> S:=v->v^2*exp((-m*v^2)/(2*k*T));

> p:=v->a*v^2*exp((-m*v^2)/(2*k*T));

> k:=1.4*10^(-23):

> T:=293:

> m:=5*10^(-26):

> a:=1/int(S(v),v=0..infinity);

(2). 室溫中氧分子的平均速度大約是多少？寫出四位有效數字。

> Int(v*(a*v^2*exp((-m*v^2)/(2*k*T))),v=0..infinity);

>

> value(%);

　

(3). p(v) 的最大值大約是多少？寫出四位有效數字。

> H:=diff(p(v),v);

> solve(H=0,v);

> p(-405.0678956);

> p(0);

> p(405.0678956);

　

6. 定義珈瑪函數 [Maple Math]

(1) 求 (1)、 (2)、 (3)、 (4)、 (5)，觀察到什麼現象？
(2) 試求 (1/2)、 (1/4)、 (0)？

> Gamma(x)=Int(t^(x-1)*exp(-t),t=0..infinity);

> Gamma:=x->Int(t^(x-1)*exp(-t),t=0..infinity);

(1)

> value(Gamma(1));

> value(Gamma(2));

> value(Gamma(3));

> value(Gamma(4));

> value(Gamma(5));

ans:

> Gamma(x+1)=x*Gamma(x);

(2)

> value(Gamma(1/2));

> value(Gamma(1/4));

> value(Gamma(0));

　

7. 畫出 y=e^x/4+0.5*sin(x)， x 介於 0 與 2 之間，繞 y 軸旋轉 360 度所形成的曲面。 (提示：我不知道有沒有更好的方法，不過我會去看看圓柱坐標的繪圖指令。)

> with(plots);

> cylinderplot(exp(1)^(x/4)+0.5*sin(x),theta=0..2*Pi,x=0..2*Pi);

　

8. 假設某加油站在地下橫置一支直徑 2 公尺，高 3 公尺的油桶 (實際的油桶可能會大得多)。油桶之頂側 (top side) 距加油嘴 (nozzle) 1 公尺，如下圖所示。

此油桶之容量是幾公升？
抽出 3000 公升汽油之後，桶內油面高度 (自桶之底側算起) 是多少？
令汽油密度為 r kg/m³，將整桶汽油全部抽出來，總共需做多少功？
若做一單位功之電力與馬達成本為 s 元，這一部分的花費稱為抽油成本。從滿滿一桶油算起，定義 f(x) 是總共抽出 x 公升汽油時的平均每公升抽油成本。試求 f(x)。
試畫出 y=f(x) 的函數曲線，其中 x 介於 0 和油桶容量之間。請自行設定合理的 r 及 s 值。
若油桶原是空的，現在以每秒 23 公升的速度灌油進入桶中。定義 h(t) 是時間 t 秒時 (從開始灌油之剎那算起) 桶內油面高度。試畫出 y=h(t) 的函數曲線，其中 t 介於 0 和灌滿油桶的時間之間。

> (1^2*pi*3)*10^3 ;

(2)

high=1+h

> R:=Int(sqrt(1-x^2),x=0..sqrt(1-h^2))-h*sqrt(1-h^2);

> solve(R=5,h);

(3)

> int((1+h)*6*r*((1^2-(1-h)^2)^(1/2)),h=0..2);