藏在生活中的數學

張景中教你學數學

單維彰的私人書摘

張景中(2019)。藏在生活中的數學--張景中教你學數學。武漢市:長江文藝出版社。

這本小書只有 143 頁,大約兩頁就是一篇,真的很容易讀。 而張景中院士的大師級眼界,即使在這麼短小的科普書裡也能閃耀光芒。

Pages 20-24 分兩篇寫維度的影響。

水滴直徑縮為 1/10,因為體積縮為 1/1000 而表面積僅縮為 1/100,所以相對而言空氣阻力增為 10 倍,縮到夠小就掉不下來了。塵埃微粒一樣道理。造雨的化學藥品幫助小水滴/冰晶連結,若直徑增為 10 倍則空氣阻力降為 1/10。

同樣道理,生物的「直徑」變大,腿的截面必須超過比例,否則不能支撐體重。因此陸上大型動物比海洋大型動物小得多:非洲象可有 7 噸重,但藍鯨可達 170 噸。冷血的昆蟲可以很小,但溫體的哺乳類動物不能太小。因為體型太小,則表面積相對太大,太容易散熱,難以保持體溫。

Pages 28-32 寬度與直徑。

不用正方形蓋子的原因是它容易掉下去。「常寬圖形」的「寬」恆等於「直徑」。這種平面圖形有無窮多種,圓是最常見的。
現在出現這種「三角拱形」的掃地機器人。

P.36,院士說「幾何」最早見於文字,是《詩經.小雅》的〈巧言〉最後一句:

為猶將多,爾居徒幾何?
(「詭計總有那麼多,你的同夥剩幾員?」或「想必代謀的也很多,你究竟有多少黨徒呢?」)

Pages 37-39。

三角形 ABC,若「等腰」則「底角 B 與 C 之平分線段等長」容易,但逆命題變得很難,而且此命題被《幾何原本》遺漏了。
這是雷米歐斯 (C. L. Lehmus, 1780-1863) 在 1840 年提出的問題,史坦納 (Jakob Steiner, 1796-1863) 提出首個證明,因為這個平面幾何的基本問題「太難得」,引起很多迴響。這本書說有 80 多種證明。史坦納被譽為古希臘 Apollonius 之後的最偉大純幾何學家。史坦納用了反證法,基本上只需要樞紐定理;昌爸分享了這個 Steiner-Lehmus Theorem 的證明。在那之後,圈內熱烈討論有沒有「直接證法」?

Pages 41-55。 經常看到這個阿拉伯遺產分配問題,這次把它記下來:

17 頭羊,遺囑分給三個兒子:老大一半,老二 1/3,老么 1/9。
接下來,作者用了連續六篇短文討論如何「一般化」這類分配問題。 P.60 列出全部可能的變形(一共七種)。 最後(p.54ff)將此問題的思維應用到「瓶蓋問題」;兩者的共同思維在「借貸」。 假如這本書的編輯大意是設定每篇兩、三頁,則像這樣「連載」算不算違規? 接著想:限制「短篇」的科普,會不會像限制「短打」的棒球或限制「短線」的投資,作繭自縛?

Page 78。 還是從阿拉伯遺產問題說起。

從 99 個單位分數 1/2, 1/3, ..., 1/100 中挑出 10 個,使其總和為 1。
關鍵思維是 1/n - 1/(n+1) 仍是單位分數。

Page 80。 一道有名的怪題。

已知 x^2-px+q=0 的兩根是大於 1 的正整數,且兩根之和小於 40。 甲只知道 p,乙只知道 q。 甲說:「你(乙)一定不知道我的 p。」但乙卻根據這句話知道了 p。 當乙告訴甲:「我已經知道 p 是多少了」之後,甲也知道了 q。
窮舉法。

Pages 94-101。 用數學思維討論「哲學」問題。

先有雞還是先有蛋(雞蛋)?定義「雞蛋」:生出雞的蛋還是雞生的蛋? 白馬是不是馬?約定「是」的意思是「等於」、「屬於」還是「包含於」?

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Created: July 28, 2023
Last Revised: 08/13
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